геометрические формулы хорды

геометрические формулы хорды

… как построить геометрическую хорду.

Чтобы построить этот отрезок, прежде всего необходимо начертить круг. Обозначают две произвольные точки, через которые проводят секущую линию. Хорда в геометрии, которая имеет максимально возможную для этой окружности длину, называется диаметром круга. Такая ось проходит через центр и делит её на две равные части. Отрезок с наименьшей длиной представляет собой точку.

Геометрические формулы хорды хорда (геометрия) хорда находится на секущей прямой — прямой линии, пересекающей кривую в двух или более точках. Плоская фигура, заключённая между кривой и её хордой называется сегмент. Хорды являются равноудаленными от центра окружности тогда и только тогда, когда они равны по длине.

Перпендикуляр с середины хорды окружности проходит через центр этой окружности. Радиус, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду пополам. Дуги, заключенные между равными хордами, равны. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны. При пересечении двух хорд окружности, получаются отрезки, произведение которых у одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Связанные понятия и утверждения. Смотреть что такое хорда (геометрия) в других словарях. Хорда окружности — окружность и её центр окружность геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой её центром. Лобачевского геометрия — геометрия лобачевского (гиперболическая геометрия) одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на… … википедия. Начертательная геометрия — начертательная геометрия инженерная дисциплина, представляющая двумерный геометрический аппарат и набор алгоритмов для исследования свойств геометрических объектов. Практически, начертательная геометрия ограничивается исследованием объектов … википедия. Начертательная геометрия — наука, изучающая пространственные фигуры при помощи их проектирования (проложения) перпендикулярами на некоторые две плоскости, которые рассматриваются затем совмещенными одна с другой. При обыкновенном способе изображения предметов линии, … … энциклопедический словарь ф. Начертательная геометрия — наука, изучающая пространственные фигуры при помощи их проектирования (проложения) перпендикулярами на некоторые две плоскости, которые рассматриваются затем совмещенными одна с другой. Плоскость лобачевского — геометрия лобачевского (гиперболическая геометрия) одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на… … википедия. Диаметр — в изначальном значении это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности, а также длина этого отрезка. Диаметр равен двум радиусам. Содержание 1 диаметр геометрических фигур … википедия. Кривая второго порядка — кривая второго порядка геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Содержание 1 история 2 … википедия. Свойства и основные формулы. Четырехугольник (общее для всех четырехугольников) квадрат. Геометрические фигуры — это любое сочетание точек, линий и поверхностей. Геометрические фигуры разделяются на плоские и объемные.

Плоские геометрические фигуры — это фигуры, все точки которых лежат на одной плоскости. Объемные геометрические фигуры — это фигуры, не все точки которых лежат на одной плоскости. Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три точки не лежат на одной прямой. В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны. Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника. Четырёхугольник можно описать окружностью, если сумма его противолежащих углов равна 180°. Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника. P =4 a, где p - периметр, a - сторона площадь. 2 радиус описанной окружности. (2) радиус вписанной окружности. Где a - сторона, d - диагональ, p - периметр, s - площадь корень квадратный вычисляется из всего, что стоит в скобках после знака например (2) – корень квадратный из 2. S = a b площадь по диагонали и углу между ними. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Стороны и диагональ связаны соотношением. S = a h s (площадь) по двум сторонам и углу между ними. S (площадь) по двум диагоналям и углу между ними. Где a, b — длины сторон, d 1, d 2 –диагонали, p - периметр, s - площадь, h - высота, проведенная к противоположной стороне.

— угол между сторонами параллелограмма — угол между диагоналями параллелограмма (острый). У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника (равны площади всех 4 - х треугольников) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб. P=4 a площадь по стороне и высоте.

S= a h площадь по диагоналям. S=2 a r площадь по стороне и углу.

Где a — длина стороны, d 1, d 2 –диагонали, p - периметр, s - площадь, h - высота, проведенная к противоположной стороне.

— угол между сторонами ромба. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами. Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции. Средняя линия (первая средняя линия) трапеции — отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

Средняя линия (вторая средняя линия) — отрезок, соединяющий середины оснований, проходит через точку пересечения диагоналей. Равнобокая трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны (c=d). У равнобокой трапеции. Диагонали равны, углы при основании равны, сумма противолежащих углов равна 180°. Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая. Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям. Радиус вписанной окружности. Где a, b — основания, c, d — боковые стороны (с – боковые стороны в случае, если трапеция равнобокая), d 1, d 2 –диагонали, p - периметр, s - площадь, h - высота, проведенная к противоположной стороне.

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции. Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника). Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины. Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны медиана треугольника — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне равные треугольники – треугольники, у которых соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника. Равносторонний или правильный треугольник – треугольник, у которого все стороны равны. Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого есть прямой угол. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой. По сторонам и углу между ними. По трем сторонам и радиусу описанной окружности. Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая. Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой её точкой. Хорда — отрезок, который соединяет какие - либо две точки окружности (ab). Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности(d). Диаметр – наибольшая хорда окружности. Наименьшей хорды окружности не существует. Касательная — прямая, которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней только одну общую точку (e) секущая — прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках. Тригонометрия – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Сам термин, давший название этому разделу математики, впервые был обнаружен в заголовке книги под авторством немецкого ученого - математика питискуса в 1505 году.

Слово тригонометрия имеет греческое происхождение.

Trigwnon - треугольник и metrew – измерять, и в буквальном переводе означает измерение треугольников. Если быть точнее, то речь идет не о буквальном измерении этой фигуры, а об её решении, то есть определении значений её неизвестных элементов с помощью известных. Е тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул. Так мы узнали, что такое синус, косинус и тангенс, научились решать прямоугольные треугольники. Прошло некоторое время и в 9 - м классе мы снова вернулись к тригонометрии. Но эта тригонометрия не похожа на ту, что изучали ранее.

Её соотношения определяются теперь с помощью окружности (единичной полуокружности), а не прямоугольного треугольника. Хотя они по - прежнему определяются как функции углов, но эти углы стали не только острые, но и тупые.

Перейдя же в 10 класс, мы снова столкнулись с тригонометрией и увидели, что она стала ещё сложнее, ввелось понятие радианная мера угла, иначе выглядят и тригонометрические тождества, и постановка задач, и трактовка их решений. Вводятся графики тригонометрических функций. Наконец, появляются тригонометрические уравнения. И весь этот материал предстал перед нами уже как часть алгебры, а не как геометрия. И нам стало очень интересно узнать, а нельзя ли формулы, которые мы изучаем на алгебре доказать геометрическими методами. Провести среди учеников 10а класса опрос, выявляющий их мнение по отношению к алгебраическому и геометрическому способу доказательств тригонометрических формул. Проанализировать доказательства формул и выявить, какие геометрические факты чаще всего использовались при доказательстве формул. Изучение литературы, обработка материалов и результатов, сравнение, анализ, анкетирование (опрос), обобщение.

История тригонометрии охватывает более двух тысячелетий. Первоначально её возникновение было связано с необходимостью выяснения соотношений углов и сторон треугольника. Историки полагают, что тригонометрию создали древние астрономы, немного позднее её стали использовать в геодезии и архитектуре.

Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась. Особенно полезными тригонометрические функции оказались при изучении колебательных процессов; на них основан также гармонический анализ функций. Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях древнего египта, вавилона и древнего китая. 56 - я задача из папируса ринда (ii тысячелетие до. ) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания – 360 локтей. Руководствуясь данными о сохранившихся научных реликвиях, историки сделали вывод, что история возникновения тригонометрии связана с работами греческого астронома гиппарха, который впервые задумался над поиском способов решения треугольников (сферических). Его труды относятся ко 2 веку до нашей эры. Также одним из важнейших достижений тех времен является определение соотношения катетов и гипотенузы в прямоугольных треугольниках, которое позже получило название теоремы пифагора. Большая часть античных сочинений по математике не дошла до наших дней, и известна только по упоминаниям позднейших авторов и комментаторов, в первую очередь паппа александрийского (iii век), прокла (v век) и др. В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.

Также развитие тригонометрии связано с именем астронома аристарха самосского (iii. В течение всего периода развития античной науки главным полем для приложения результатов плоской тригонометрии у греков оставалась астрономия. Привлечения тригонометрии требовала, например, задача об определении параметров движения светила в пространстве.

Эта задача впервые была сформулирована и решена гипархом (середина ii века до. ) вместо современной функции синуса гиппарх и другие древнегреческие математики обычно рассматривали зависимость длины хорды окружности от заданного центрального угла. В частности, книга содержит обширные пятизначные таблицы хорд для острых и тупых углов. Единицами для измерения хорды были градусы, минуты и секунды. Один градус приравнивался к шестидесятой части радиуса. Также исследования древних греков продвинули развитие сферической тригонометрии. Его труды в этой области стали своеобразным толчком в развитии еще и смежных областей знаний. Это, в частности, технология астрономических приборов, теория картографических проекций, система небесных координат. Значительных успехов достигли индийские средневековые астрономы. Гибель античной науки в iv веке обусловила перемещение центра развития математики в индию. Именно тогда ученые заменили хорды синусами. Это открытие позволило ввести функции, касающиеся исследования сторон и углов прямоугольного треугольника. То есть, именно тогда тригонометрия начала обосабливаться от астрономии, превращаясь в раздел математики. Первые таблицы синусов появились в трудах ариабхаты (v век), они была проведены через 3°. Важный вклад в развитие тригонометрии внес брахмагупта (vii век), открывший несколько тригонометрических соотношений, в том числе и те, которые в современной записи приняли вид. В трудах другого выдающегося ученого, бхаскары ii (xii век), приводятся формулы для синуса и косинуса суммы и разности углов. Первый специализированный трактат по тригонометрии появился в x—xi веке.

Автором его был среднеазиатский учёный аль - бируни. После перевода арабских трактатов на латынь (xii - xiii в) большинство идей индийских и персидских ученых были заимствованы европейской наукой. Первые упоминания о тригонометрии в европе относятся к xii веку.

Именно его труд стал первой работой, которая целиком посвящена тригонометрии. В новое время большинство ученых стало осознавать чрезвычайную важность тригонометрии не только в астрономии и астрологии, но и в других областях жизни. Это, в первую очередь, артиллерия, оптика и навигация в дальних морских походах. Поэтому во второй половине xvi века эта тема заинтересовала многих выдающихся людей того времени, в том числе николая коперника, иоганна кеплера, франсуа виета. А альбрехт дюрер стал тем, благодаря кому на свет появилась синусоида. Придание тригонометрии современного содержания стало заслугой леонарда эйлера. Эйлер рассматривал как допустимые отрицательные углы и углы, большие 360°, что позволило определить тригонометрические функции на всей числовой прямой. Именно он в своих работах впервые доказал, что косинус и тангенс тупого угла отрицательные, определил знаки для углов в разных координатных квадрантах. Разложение целых степеней косинуса и синуса тоже стало заслугой этого ученого. Тригонометрия не относится к прикладным наукам, в реальной повседневной жизни ее задачи редко применяются. Однако этот факт не снижает ее значимости. Очень важна, например, техника триангуляции, которая позволяет астрономам достаточно точно измерить расстояние до недалеких звезд и осуществлять контроль системам навигации спутников. Также тригонометрию применяют в навигации, теории музыки, акустике, оптике, анализе финансовых рынков, электронике, теории вероятностей, статистике, биологии, медицине (например, в расшифровке ультразвуковых исследований узи и компьютерной томографии), фармацевтике, химии, теории чисел, сейсмологиии, метеорологии, океанологии, картографии, многих разделах физики, топографии и геодезии, архитектуре, фонетике, экономике, электронной технике, машиностроении, компьютерной графике, кристаллографиии. История тригонометрии и ее роль в изучении естественно - математических наук изучаются и по сей день. Возможно, в будущем областей ее применения станет еще больше.

Прежде чем, доказывать тригонометрические тождества, вспомним, что такое синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника a = c sin b = c cos. Тогда получаем, что c 2 = c 2 sin 2. При опросе учеников 10а класса выяснилось. Большая часть класса (57%) считает, что геометрическая иллюстрация формул приведения понятнее, и таким образом формулы запоминаются быстрее.

Угол а лучом ае разделим произвольным образом на два угла. Отметим точку в и на сторону угла. Опустим перпендикуляр вн. Также из точки в опустим перпендикуляр ве на луч ае.

Из точки е проведем перпендикуляр ем и перпендикуляр ef. Треугольники аон и вое подобны. Вое – вертикальные вео =. Из прямоугольного треугольника вме получим вм = ве.

Отрезок ве выразим из прямоугольного треугольника аве и получим, что ве = ав. Подставив выражение (3) в выражение (2), делаем вывод, что вм = ав. Из прямоугольного треугольника aef получим ef = мн = ае.

Отрезок ае выразим из прямоугольного треугольника аве и получим, что ае = ab. Подставив выражение (6) в выражение (5), делаем вывод, что мн = ав. Разделим данное выражение на из треугольника авн следует, что отношение равно а из треугольника свн следует, что отношение равно. Значит, учеников 10а класса попросили оценить все 3 способа доказательства этой формулы. 1 способ – 0% (его никто не выбрал), 2 способ – 18 чел. (69%), 3 способ – 8 чел. Учащимся 10а класса второй способ доказательства формулы показался наиболее простым. В прямоугольном треугольнике авс из вершины острого угла а проведем отрезок ad. Обозначим ас = b, вс = а, ав = с сав =. Геометрические формулы хорды длина хорды. Задача на нахождение длины хорды окружности. Бывают случаи в жизни, когда знания, полученные во время школьного обучения, очень полезны. Хотя во время учебы эти сведения казались скучными и ненужными. Например, как можно использовать информацию о том, как находится длина хорды. Можно предположить, что для специальностей, не связанных с точными науками, такие знания малопригодны. Однако можно привести много примеров (от конструирования новогоднего костюма до сложного устройства аэроплана), когда навыки решения задач по геометрии являются нелишними. Оно было введено математиками древнего периода. Хордой обозначают в разделе элементарной геометрии часть прямой линии, которая объединяет две любые точки какой - либо кривой (окружности, параболы или эллипса). Другими словами, данный связующий геометрический элемент находится на прямой, пересекающей заданную кривую в нескольких точках. В случае окружности длина хорды заключена между двумя точками этой фигуры. Часть плоскости, ограниченная прямой, пересекающей окружность, и ее дугой называют сегментом. Можно отметить, что с приближением к центру длина хорды увеличивается. Часть окружности, находящуюся между двумя точками пересечения данной прямой, называют дугой. Ее мерой измерения является центральный угол. Вершина данной геометрической фигуры находится в середине круга, а стороны упираются в точки пересечения хорды с окружностью. Тактики cs go 1 - защита длины в соло на dust2 (ct) можно выделить некоторые свойства данного отрезка, а также других фигур, связанных с ним. Эти моменты приведены в следующем списке.

Окружность, круг и их элементы. Касательная, хорда, радиус. Любые хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра, имеют равные длины, при этом обратное утверждение также верно. Все углы, которые вписаны в окружность и опираются на общий отрезок, который объединяет две точки (при этом их вершины находятся в одной стороне от данного элемента), являются идентичными по величине.

Самая большая хорда является диаметром. Сумма любых двух углов, если они опираются на данный отрезок, но при этом их вершины лежат в разных сторонах относительно него, составляет 180. Большая хорда - по сравнению с аналогичным, но меньшим элементом - лежит ближе к середине данной геометрической фигуры. Все углы, которые вписаны и опираются на диаметр, равны 90. Чтобы найти длину дуги окружности, которая заключена между концами хорды, можно использовать формулу гюйгенса. Для этого необходимо провести такие действия. Обозначим искомую величину р, а хорда, ограничивающая данную часть окружности, будет иметь название ав. Найдем середину отрезка ав и к ней поставим перпендикуляр. Можно отметить, что диаметр окружности, проведенный через центр хорды, образует с ней прямой угол. Верно и обратное утверждение.

При этом точку, где диаметр, проходя через середину хорды, соприкасается с окружностью, обозначим м. Тогда отрезки ам и вм можно назвать соответственно, как l и l. Длина дуги может быть вычислена по следующей формуле.

Можно отметить, что относительная погрешность данного выражения при возрастании угла увеличивается. Так, при 60 она составляет 0, 5%, а для дуги, равной 45, эта величина уменьшается до 0, 02%. Длина хорды может использоваться в различных сферах. Например, при расчетах и конструировании фланцевых соединений, которые широко распространены в технике.

Также можно увидеть вычисление этой величины в баллистике для определения расстояния полета пули и так далее.

Можно выделить некоторые свойства данного отрезка, а также других фигур, связанных с ним. Она составляет 0, 5%, а для дуги, равной 45 эта величина уменьшается до 0, 02%. Геометрические характеристики крыла в основном можно определить по его форме в плане.

Вообще говоря, хорда крыла определяется как условная линия, соединяющая точки передней и задней кромок крыла, полученные в результате их пересечения плоскостью, параллельной плоскости симметрии самолета. В частном случае, например, треугольного в плане крыла концевая хорда вырождается в ноль. При расчете аэродинамических характеристик крыла чаще пользуются геометрическими параметрами его проекции на базовую или строительную плоскости. Строительной плоскостью крыла (спк) называют плоскость, проходящую через хорду одного из сечений крыла (чаще всего корневого или бортового) и точку, лежащую на хорде концевого сечения. При нулевом значении угла поперечного v крыла базовая и строительная плоскости совпадают. Поэтому будем считать, что крыло в плане ограничено проекциями линий передней и задней кромок на спк, корневой и концевой. Площадь, ограниченную этими линиями, будем называть проекционной площадью крыла. Местный угол стреловидности передней кромки крыла - угол между касательной к линии передней кромки в заданной точке и плоскостью, перпендикулярной к корневой хорде крыла. Аналогично определяется угол стреловидности задней кромки и линии четверти хорды крыла. Другой важной характеристикой формы крыла в плане является сужение, которое определяется как отношение корневой хорды и концевой. В ряде случаев из конструктивных соображений или по аэродинамическим требованиям законцовку трапециевидного крыла обрезают. В этом случае для определения сужения крыла исходную форму в плане заменяют фиктивным трапециевидным крылом равной площади с совпадающими передней и задней кромками. Концевая хорда такого крыла определяется из условия равенства площадей по формуле.

При этом следует отметить, что полученное фиктивное крыло нельзя использовать для расчета таких характеристик, как удлинение и средняя аэродинамическая хорда. Средняя аэродинамическая хорда (сах) определяется как хорда прямоугольного крыла, равного по размаху и площади исходному.

Сах является одним из важнейших геометрических параметров несущей поверхности, используемых при расчетах аэродинамических и динамических характеристик, и рассчитывается на основании приведенного выше определения так. 5) пользуются для определения сах сложного по форме в плане крыла. Однако в большинстве случаев форму крыла в плане можно привести к одной или нескольким трапециям. В этом случае сах рассчитывается по известным геометрическим формулам. Приведенные выше зависимости для определения геометрических характеристик крыла справедливы и для других несущих поверхностей, таких, как вертикальное и горизонтальное оперение, с той лишь разницей, что вместо корневой хорды в них используется бортовая хорда и размах определяется как сумма длин консолей, т.

Коментарі

Популярні дописи з цього блогу

відповіді до сходинки до вершин 4 клас відповіді назаренко

гдз хімія 9 клас григорович робочий зошит соняшник

гдз позакласне читання 4 клас бикова відповіді за новою програмою

гдз географія 9 клас зінкевич україна і світове господарство

контрольні роботи карпюк 10 клас