решебник рациональных дробей

решебник рациональных дробей

Пусть подынтегральное выражение есть рациональная дробь, где и - полиномы (многочлены) степеней k и n соответственно. 1) а интеграл от полинома r(x) мы вычислять умеем. Покажем на примере, как можно получить разложение (1. Разделим полином p(x) на полином q(x) так же, как мы делим вещественные числа (решение получаем через калькулятор деления столбиком). По основной теореме алгебры любой полином может быть разложен на простейшие множители, то есть представлен в виде, где x l – корни полинома q(x) повторенные столько раз, какова их кратность. Пусть полином q(x) имеет n различных корней x 1, x 2. Тогда правильная рациональная дробь может быть представлена в виде, где a 1, a 2. A n - числа подлежащие определению. Если x i - корень кратности то ему в разложении на простейшие дроби соответствует. Если x j - комплексный корень кратности. Полинома с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное число x j - тоже корень кратности. Чтобы не иметь дело с комплексными числами при интегрировании рациональных дробей, слагаемые в разложении правильной рациональной дроби, соответствующие парам комплексно сопряженных корней, объединяют и записывают одним слагаемым вида, если x j, x j – корни кратности один. Если x j, x j – корни кратности то им соответствует. Слагаемых и соответствующее разложение имеет вид таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей свелось к интегрированию простейших дробей, из которых являются табличными, может быть найден по рекуррентной формуле, которая получается интегрированием по частям. Интегралы, в случае, когда знаменатель имеет комплексные корни (дискриминант d=p 2 - 4q), сводятся, с помощью выделения полного квадрата, к интегралам, заменой. Одним из способов нахождения коэффициентов a j, m j, n j в разложении правильной рациональной дроби является следующий. Правую часть полученного разложения с неопределенными коэффициентами a j, m j, n j приводят к общему знаменателю. Так как знаменатели правой и левой частей равны, то должны быть равны и числители, которые являются полиномами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (так как полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x), получаем систему линейных уравнений для определения этих коэффициентов. Корни знаменателя – x 1 = - 2 кратности 1 и x 2 =1 кратности 2. Корни знаменателя – x 1 =2 кратности 1 и два комплексных корня x 2, 3, = - 1±i. Используем метод разложения на простейшие.

Знаменатель имеет действительные корни, причем корень - 1 имеет кратность два. Разложим подынтегральную функцию на простейшие слагаемые.

Прежде всего, чтобы научиться работать с рациональными дробями без ошибок, необходимо выучить формулы сокращённого умножения. И не просто выучить — их необходимо распознавать даже тогда, когда в роли слагаемых выступают синусы, логарифмы и корни. Однако основным инструментом остаётся разложение числителя и знаменателя рациональной дроби на множители. Этого можно добиться тремя различными способами. Собственно, по формула сокращённого умножения. Они позволяют свернуть многочлен в один или несколько множителей; с помощью разложения квадратного трёхчлена на множители через дискриминант. Этот же способ позволяет убедиться, что какой - либо трёхчлен на множители вообще не раскладывается; метод группировки — самый сложный инструмент, но это единственный способ, который работает, если не сработали два предыдущих. Как вы уже, наверное, догадались из названия этого видео, мы вновь поговорим о рациональных дробях. Буквально несколько минут назад у меня закончилось занятие с одним десятиклассником, и там мы разбирали именно эти выражения. Поэтому данный урок будет предназначен именно для старшеклассников. Наверняка у многих сейчас возникнет вопрос. «зачем ученикам 10 - 11 классов изучать такие простые вещи как рациональные дроби, ведь это проходится в 8 классе.

Формулы для решения задач. Давайте перейдем к делу.

Прежде всего, нам потребуется два факта — два комплекта формул. Прежде всего, необходимо знать формулы сокращенного умножения. В чистом виде они ни в каких примерах и в реальных серьезных выражениях не встречаются. Поэтому наша задача состоит в том, чтобы научиться видеть под буквами $a$ и $b$ гораздо более сложные конструкции, например, логарифмы, корни, синусы. Научиться видеть это можно лишь при помощи постоянной практики. Именно поэтому решать рациональные дроби совершенно необходимо. С теоретической частью мы разобрались. Но как решать реальные рациональные дроби, которые рассматриваются в 8 классе.

Сейчас мы и потренируемся. Давайте попробуем применить вышеописанные формулы к решению рациональных дробей. Прежде всего, хочу объяснить, зачем вообще нужно разложение на множители. Дело в том, что при первом взгляде на первую часть задания хочется сократить куб с квадратом, но делать этого категорически нельзя, потому что они являются слагаемыми в числителе и в знаменателе, но ни в коем случае не множителями. Вообще, что такое сокращение.

Сокращение — это использование основного правила работы с такими выражениями. Однако мы должны все слагаемые, стоящие в знаменателе, разделить на одно и то же число. И сокращать числитель со знаменателем мы вправе лишь тогда, когда оба они разложены на множители. Давайте это и сделаем. Теперь необходимо посмотреть, сколько слагаемых находится в том или ином элементе, в соответствии с этим узнать, какую формулу необходимо использовать. Нюансы умножения рациональных дробей. Далеко не каждый многочлен раскладывается на множители. Даже если он и раскладывается, необходимо внимательно смотреть, по какой именно формуле сокращенного умножения. Для этого, во - первых, нужно оценить, сколько всего слагаемых (если их два, то все, что мы можем сделать, то это разложить их либо по сумме разности квадратов, либо по сумме или разности кубов; а если их три, то это, однозначно, либо квадрат суммы, либо квадрат разности). Очень часто бывает так, что или числитель, или знаменатель вообще не требует разложения на множители, он может быть линейным, либо дискриминант его будет отрицательным. В числителе вообще ничего нельзя сделать, потому что это линейное выражение, и вынести из него какой - либо множитель нельзя. Посмотрим на знаменатель. Как видите, далеко не все и не всегда упирается в формулы сокращенного умножения — иногда просто достаточно вынести за скобки константу или переменную. Однако бывает и обратная ситуация, когда слагаемых настолько много или они так построены, что формулы сокращенного умножения к ним вообще невозможно. В этом случае к нам на помощь приходит универсальный инструмент, а именно, метод группировки. Именно это мы сейчас и применим в следующей задаче.

Так как два элемента не получилось сгруппировать, то мы сгруппировали три. Осталось разобраться лишь со знаменателем последней дроби. С группировкой мы разобрались и получили еще один очень мощный инструмент, который расширяет возможности по разложению на множители. Но проблема в том, что в реальной жизни нам никто не будет давать вот такие рафинированные примеры, где есть несколько дробей, у которых нужно лишь разложить на множитель числитель и знаменатель, а потом по возможности их сократить. Реальные выражения будут гораздо сложнее.

Скорее всего, помимо умножения и деления там будут присутствовать вычитания и сложения, всевозможные скобки — вообщем, придется учитывать порядок действий. Но самое страшное, что при вычитании и сложении дробей с разными знаменателями их придется приводить к одному общему.

Для этого каждый из них нужно будет раскладывать на множители, а потом преобразовывать эти дроби. Приводить подобные и многое другое.

Как это сделать правильно, быстро, и при этом получить однозначно правильный ответ. Именно об этом мы и поговорим сейчас на примере следующей конструкции. Материал, изложенный в этой теме, опирается на сведения, представленные в теме рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на элементарные (простейшие) дроби. Очень советую хотя бы бегло просмотреть эту тему перед тем, как переходить к чтению данного материала. Кроме того, нам будет нужна таблица неопределенных интегралов. Примеры рациональных дробей (правильных и неправильных), а также примеры разложения рациональной дроби на элементарные можно найти тут. Здесь нас будут интересовать лишь вопросы их интегрирования. Начнём с интегрирования элементарных дробей. Итак, каждый из четырёх типов указанных выше элементарных дробей несложно проинтегрировать, используя формулы, указанные ниже.

Формулы (3) и (4) требуют выполнение условия $p^2 - 4q 0$. Можно рассудить и по - иному, не привлекая выделение полного квадрата. Вместо модуля можно использовать обычные скобки. Кажется, что единcтвенное отличие – это коэффициент $3$ перед $x^2$, но ведь коэффициент и убрать недолго (за скобки вынести). Однако это сходство кажущееся. Ну что же, если заданная рациональная дробь не является элементарной, то её нужно представить в виде суммы элементарных дробей, а затем проинтегрировать. Короче говоря, след воспользоваться схемой интегрирования рациональных дробей. Как разложить рациональную дробь на элементарные подробно написано тут. Начнём с того, что разложим на множители знаменатель. Чтобы найти коэффициенты $a$ и $b$ есть два стандартных пути. Метод неопределённых коэффициентов и метод подстановки частных значений. Возвращаясь к исходному интегралу, подставим в него полученное разложение.

Затем разобьём интеграл на два, и к каждому применим формулу (1). Константы я предпочитаю сразу выносить за знак интеграла. В числителе расположен многочлен второй степени, а в знаменателе – многочлен третьей степени. Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т. А сегодня рациональные неравенства не все могут решать. Точнее, решать могут не только лишь все.

Мало кто может это делать. Этот урок будет жёстким. Настолько жёстким, что до конца его дойдут лишь избранные.

Поэтому перед началом чтения рекомендую убрать от экранов женщин, кошек, беременных детей. Да ладно, на самом деле всё просто. Это и будет рациональное неравенство. Принципиальным моментом является наличие переменной $x$ в знаменателе.

Например, вот это — рациональные неравенства. Забегая вперёд, сразу скажу.

Существует как минимум два способа решения рациональных неравенств, но все они так или иначе сводятся к уже известному нам методу интервалов. Поэтому прежде чем разбирать эти способы, давайте вспомним старые факты, иначе толку от нового материла не будет никакого. Формулы сокращённого умножения. Они будут преследовать нас на протяжении всей школьной программы математики. И в университете тоже.

Этих формул довольно много, но нам потребуются лишь следующие.

Обратите внимание на последние две формулы — это сумма и разность кубов (а не куб суммы или разности. Их легко запомнить, если заметить, что знак в первой скобке совпадает со знаком в исходном выражении, а во второй — противоположен знаку исходного выражения. Это требование вполне логично, поскольку при $a=0$ мы получим вот что. Во - первых, в этом уравнении нет переменной $x$. Это, вообще говоря, не должно нас смущать (такое случается, скажем, в геометрии, причём довольно часто), но всё же перед нами уже не линейное уравнение.

Во - вторых, решение этого уравнения зависит исключительно от коэффициента $b$. Если $b$ — тоже ноль, то наше уравнение имеет вид $0=0$. Данное равенство верно всегда; значит, $x$ — любое число (обычно это записывается так. Если же коэффициент $b$ не равен нулю, то равенство $b=0$ никогда не выполняется, т. Квадратные уравнения. Решаются такие уравнения через дискриминант. Это, кстати, очень полезный факт, о котором почему - то забывают рассказать на уроках алгебры. Отсюда, кстати, и ограничения на дискриминант. Ведь квадратный корень из отрицательного числа не существует. По поводу корней у многих учеников жуткая каша в голове, поэтому я специально записал целый урок. Что такое корень в алгебре и как его считать — очень рекомендую почитать. ) действия с рациональными дробями. Всё, что было написано выше, вы и так знаете, если изучали метод интервалов. А вот то, что мы разберём сейчас, не имеет аналогов в прошлом — это совершенно новый факт. И чуть дальше мы обнаружим, что решать такие задачи — одно удовольствие, там всё очень просто. Проблемы начинаются тогда, когда в одном выражении находятся несколько таких дробей. Их приходится приводить к общему знаменателю — и именно в этот момент допускается большое количество обидных ошибок. В большинстве случаев этих корней будет не более двух). В таком случае наш исходный многочлен можно переписать так. Для начала посмотрим на знаменатели. Все они — линейные двучлены, и раскладывать на множители тут нечего. Поэтому давайте разложим на множители числители. То же самое произошло и в третьем многочлене, только там ещё и порядок слагаемых перепутан. Однако коэффициент «. Вносить множитель можно в одну и только в одну скобку.

), что избавило нас от неудобств, связанных с дробными корнями. Что касается первого многочлена, там всё просто. Его корни ищутся либо стандартно через дискриминант, либо по теореме виета. Вернёмся к исходному выражению и перепишем его с разложенными на множители числителями. Как видите, ничего сложного. Немного математики 7—8 класса — и всё. Смысл всех преобразований в том и состоит, чтобы получить из сложного и страшного выражения что - нибудь простое, с чем легко работать. Разложить на множители оба знаменателя; рассмотреть первый знаменатель и добавить к нему множители, имеющиеся во втором знаменателе, однако отсутствующие в первом. Полученное произведение и будет общим знаменателем; выяснить, каких множителей не хватает каждой из исходных дробей, чтобы знаменатели стали равны общему.

Такие объёмные задачи лучше решать по частям. Выпишем то, что стоит в первой скобке.

Разложим на множители каждый из них. Оставляем его без изменений. Второй знаменатель — кубический многочлен $ ^ > - 8$ — при внимательном рассмотрении является разностью кубов и легко раскладывается по формулам сокращённого умножения. Наконец, третий знаменатель представляет собой линейный двучлен, который нельзя разложить. Таким образом, наше уравнение примет вид. Затем останется лишь привести подобные.

Когда знаменатель уже общий, т. Вместо трёх отдельных дробей мы написали одну большую, не стоит сразу избавляться от скобок. Это избавит вас от множества ошибок. Ну и в последней строчке полезно разложить на множители числитель. Тем более что это точный квадрат, и нам на помощь вновь приходят формулы сокращённого умножения. Тут я просто напишу цепочку равенств. Смысл этой задачи такой же, как и у предыдущей. Показать, насколько могут упрощаться рациональные выражения, если подойти к их преобразованию с умом. И вот теперь, когда вы всё это знаете, давайте перейдём к основной теме сегодняшнего урока — решению дробно - рациональных неравенств. Тем более что после такой подготовки сами неравенства вы будете щёлкать как орешки. ) основной способ решения рациональных неравенств. Существует как минимум два подхода к решению рациональных неравенств. Сейчас мы рассмотрим один из них — тот, который является общепринятым в школьном курсе математики. В остальном никаких отличий между строгими и нестрогими неравенствами нет, поэтому давайте разберём универсальный алгоритм. Практика показывает, что наибольшие трудности вызывают пункты 2 и 4 — грамотные преобразования и правильная расстановка чисел в порядке возрастания. Ну, и на последнем шаге будьте предельно внимательны. Мы всегда расставляем знаки, опираясь на самое последнее неравенство, записанное перед переходом к уравнениям. Это универсальное правило, унаследованное ещё от метода интервалов. Правда, и задачка была лёгкая. При его решении я уже не буду давать столь подробных выкладок — просто обозначу ключевые моменты. В общим, оформим его так, как оформляли бы на самостоятельной работе или экзамене.

) важное замечание по поводу чисел, которые мы подставляем для выяснения знака на самом правом интервале.

Совершенно необязательно подставлять число, близкое к самому правому корню. Все они являются линейными двучленами, и у всех старшие коэффициенты (числа 7, 11 и 13) положительны. Следовательно, при подстановке очень больших чисел сами многочлены тоже будут положительны. ) это правило может показаться чрезмерно сложным, но только поначалу, когда мы разбираем совсем лёгкие задачи. Альтернативный способ. Этот приём мне подсказала одна из моих учениц. Сам я никогда им не пользовался, однако практика показала, что многим ученикам действительно удобнее решать неравенства именно таким способом. Из - за чего нам приходится рассматривать отдельные группы корней (со звёздочкой и без), думать о выколотых точках. У дроби есть область определения, согласной которой дробь имеет смысл только тогда, когда её знаменатель отличен от нуля. В остальном никаких отличий между числителем и знаменателем не прослеживается. Мы так же приравниваем его к нулю, ищем корни, затем отмечаем их на числовой прямой. Так почему бы не заменить дробную черту (фактически — знак деления) обычным умножением, а все требования одз прописать в виде отдельного неравенства. Такой подход позволит свести задачу к методу интервалов, но при этом нисколько не усложнит решение.

На примере этого решения хотел бы предостеречь вас от распространённой ошибки среди начинающих учеников. Никогда не раскрывайте скобки в неравенствах. Наоборот, старайтесь всё разложить на множители — это упростит решение и избавит вас от множества проблем. Никогда не раскрывайте скобки в таких уравнениях. Вы только усложните себе задачу.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Учёт кратности корней. Из предыдущих задач легко заметить, что наибольшую сложность представляют именно нестрогие неравенства, потому как в них приходится следить за закрашенными точками. Но в мире есть ещё большее зло — это кратные корни в неравенствах. Тут уже приходится следить не за какими - то там закрашенными точками — тут знак неравенства может внезапно не поменяться при переходе через эти самые точки. Ничего подобного мы в этом уроке ещё не рассматривали (хотя аналогичная проблема часто встречалась в методе интервалов). Поэтому введём новое определение.

Собственно, нас не особо интересует точное значение кратности. Важно лишь то, чётным или нечётным является это самое число $n$. Если $x=a$ — корень чётной кратности, то знак функции при переходе через него не меняется; и наоборот, если $x=a$ — корень нечётной кратности, то знак функции поменяется. Частным случаем корня нечётной кратности являются все предыдущие задачи, рассмотренные в этом уроке.

Там везде кратность равна единице.

Перед тем, как мы начнём решать задачи, хотел бы обратить ваше внимание на одну тонкость, которая покажется очевидной для опытного ученика, но вгоняет в ступор многих начинающих. Вся скобка возводилась в пятую степень, поэтому на выходе мы получили корень пятой степени. Главное, что 10 — это чётное число, поэтому на выходе имеем два корня, и оба они вновь имеют первую кратность. В общем будьте внимательны. Кратность возникает только тогда, когда степень относится ко всей скобке, а не только к переменной. Ещё раз обратите внимание на $x=0$. Из - за чётной кратности возникает интересный эффект. Слева от неё всё закрашено, справа — тоже, да и сама точка вполне себе закрашена. Как следствие, её не нужно обособлять при записи ответа. Такие эффекты возможны только при корнях чётной кратности. В этот раз пойдём по стандартной схеме.

Приравниваем к нулю числитель. Точка $x=3$ — изолированная. Это часть ответа перед тем, как записать окончательный ответ, внимательно посмотрим на картинку.

Точка $x=1$ имеет чётную кратность, но сама выколота. Следовательно, её придётся обособить в ответе.

Точка $x=3$ тоже имеет чётную кратность и при этом закрашена. Расстановка знаков свидетельствует, что сама точка нас устраивает, но шаг влево - вправо — и мы попадаем в область, которая нас точно не устраивает. Объединяем все полученные кусочки в общее множество и записываем ответ. А означает он буквально следующее.

Что тут может быть непонятны. Да в том - то и дело, что множества можно задавать по - разному.

Давайте ещё раз выпишем ответ к последней задаче.

Читаем буквально, что написано. Интерес здесь представляет третий пункт. Чтобы понять, что мы именно перечисляем конкретные числа, входящие в множество (а не задаём границы или что - либо ещё), используются фигурные скобки. Ни в коем случае не путайте эти понятия. Правило сложения кратностей. Внимательные ученики уже наверняка задались вопросом. А что будет, если в числителе и знаменателе обнаружатся одинаковые корни. Так вот, работает следующее правило. Приравниваем к нулю знаменатель. Оба имеют первую кратность. Кроме того, есть ещё одинаковые корни. Потому что ещё в начале урока договорились. Если точка одновременно и выколотая, и закрашенная, то мы всё равно считаем её выколотой. В итоге у нас есть четыре корня, причём все оказались выколоты. Расставляем знаки и закрашиваем интересующие нас области. Никаких изолированных точек и прочих извращений. Можно записывать ответ. Правило умножения кратностей. Иногда встречается ещё более неприятная ситуация. Уравнение, имеющее кратные корни, само возводится в некоторую степень. При этом меняются кратности всех исходных корней. Как видите, всё не так сложно. Главное — внимательность. Последний раздел этого урока посвящён преобразованиям — тем самым, которые мы обсуждали в самом начале.

Предварительные преобразования. Неравенства, которые мы разберём в этом разделе, нельзя назвать сложными. Однако в отличие от предыдущих задач здесь придётся применить навыки из теории рациональных дробей — разложение на множители и приведение к общему знаменателю. Мы детально обсуждали этот вопрос в самом начале сегодняшнего урока. Если вы не уверены, что понимаете, о чём речь — настоятельно рекомендую вернуться и повторить. В домашней работе, кстати, тоже будет много подобных задач. Они вынесены в отдельный подраздел. И там вас ждут весьма нетривиальные примеры. Но это будет в домашке, а сейчас давайте разберём парочку таких неравенств. Разумеется, это был совсем уж просто пример. Поэтому сейчас рассмотрим задачу посерьёзнее.

И кстати, уровень этой задачи вполне соответствует самостоятельным и контрольным работам по этой теме в 8 классе.

Вдруг вылезут одинаковы скобки. С первым знаменателем легко. Не стесняйтесь вносить множитель - константу в ту скобку, где обнаружилась дробь. Исходный многочлен имел целые коэффициенты, поэтому велика вероятность, что и разложение на множители будет иметь целые коэффициенты (на самом деле так будет всегда, за исключением случаев, когда дискриминант иррационален). Возвращаемся к неравенству и приводим обе дроби к общему знаменателю. Отмечаем четыре числа на прямой.